Question

4．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|，0＜x≤3}\\{\frac{1}{8}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{35}{8}，x＞3}\end{array}\right.$，若函數g（x）=f（x）-m存在4個不同的零點x₁，x₂，x₃，x₄，則實數m的取值范圍是（0，1），x₁•x₂•x₃•x₄的取值范圍是（27，35）．

Answer 1

分析 作出f（x）的函數圖象，根據圖象得出m和各零點的范圍，根據對數運算性質和二次函數的對稱性得出x₁•x₂•x₃•x₄關于x₃的函數，從而求得x₁•x₂•x₃•x₄的最值．

解答 解：作出f（x）的函數圖象如圖所示：

由圖象可知當0＜m＜1時，方程f（x）=m有4個解，
設g（x）的4個零點從小到大為x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
則x₁x₂=1，x₃+x₄=12，且3＜x₃＜5，
∴x₁x₂x₃x₄=x₃x₄=x₃（12-x₃）=-x₃²+12x₃，
設h（x）=-x²+12x，x∈（3，5），則h（x）在（3，5）上單調遞增，
又h（3）=27，h（5）=35，
∴27＜h（x）＜35．
即27＜x₁x₂x₃x₄＜35．
故答案為：（0，1），（27，35）．

點評 本題考查了函數零點與函數圖象的關系，函數最值的計算，屬于中檔題．