Question

6．若存在兩個正實數m、n，使得等式a（lnn-lnm）（4em-2n）=3m成立（其中e為自然對數的底數），則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，$\frac{3}{2e}$]
• C． [$\frac{3}{2e}$，+∞）
• D． （-∞，0）∪[$\frac{3}{2e}$，+∞）

Answer 1

分析 根據函數與方程的關系將方程進行轉化，利用換元法轉化為方程有解，構造函數求函數的導數，利用函數極值和單調性的關系進行求解即可．

解答 解：由3m+a（2n-4em）（lnn-lnm）=0，
得3m+2a（n-2em）ln$\frac{n}{m}$=0，
即3+2a（$\frac{n}{m}$-2e）ln$\frac{n}{m}$=0，
即設t=$\frac{n}{m}$，則t＞0，
則條件等價為3+2a（t-2e）lnt=0，
即（t-2e）lnt=-$\frac{3}{2a}$有解，
設g（t）=（t-2e）lnt，
g′（t）=lnt+1-$\frac{2e}{t}$為增函數，
∵g′（e）=lne+1-$\frac{2e}{e}$=1+1-2=0，
∴當t＞e時，g′（t）＞0，
當0＜t＜e時，g′（t）＜0，
即當t=e時，函數g（t）取得極小值為：g（e）=（e-2e）lne=-e，
即g（t）≥g（e）=-e，
若（t-2e）lnt=-$\frac{3}{2a}$有解，
則-$\frac{3}{2a}$≥-e，即$\frac{3}{2a}$≤e，
則a＜0或a≥$\frac{3}{2e}$，
故實數a的取值范圍是（-∞，0）∪[$\frac{3}{2e}$，+∞）．
故選：D．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據函數與方程的關系，轉化為兩個函數相交問題，利用構造法和導數法求出函數的極值和最值是解決本題的關鍵．綜合性較強．