Question

9．已知a∈R，函數f（x）=alnx-（a+1）x+$\frac{1}{2}{x^2}$．
（1）若函數y=f（x）在x=3處取得極值，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a＜0，且函數y=f（x）有兩個不同的零點，求a取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據x=3是函數的極值，求出a的值，求出f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）求出函數的導數，根據函數的單調性，求出函數的極小值小于0，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由題意得，f′（x）=$\frac{a}{x}$-（1+a）+x=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$（x＞0），
由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a，
若函數y=f（x）在x=3處取得極值，則a=3，
故f（x）=3lnx-4x+$\frac{1}{2}$x²，f′（x）=$\frac{3}{x}$-4+x，
故f（1）=-$\frac{7}{2}$，f′（1）=0，
故切線方程是：y+$\frac{7}{2}$=0，
即y=-$\frac{7}{2}$；
（2）由題意得，f′（x）=$\frac{a}{x}$-（1+a）+x=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$（x＞0），
由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a
a＜0時，令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）在x=1處取得極小值，
又當x→0時，或x→+∞時，都有g（x）→+∞，
∴f（1）=-a-$\frac{1}{2}$＜0，解得-$\frac{1}{2}$＜a＜0，
綜上所述a的取值范圍為（-$\frac{1}{2}$，0）．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．