Question

18．已知函數f（x）=ax²-2ax+2+b（a≠0）在[2，3]上有最大值5和最小值2，則a，b的值為$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 求出二次函數的對稱軸，對a分a＞0和a＜0兩類，判斷出f（x）在[2，3]上的單調性，求出函數的最值，列出方程組，求出a，b的值，

解答 解：函數f（x）=ax²-2ax+2+b的對稱軸是x=1，
當a＞0時，
函數f（x）在[2，3]上是增函數，
根據題意得
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-4a+2+b=2}\\{9a-6a+2+b=5}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
當a＜0時，函數f（x）在[2，3]上是減函數，
根據題意得$\left\{\begin{array}{l}{4a-4a+2+b=5}\\{9a-6a+2+b=2}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．

點評 本題考查二次函數最值的求法，解題的關鍵是根據二次函數的對稱軸與區間的位置關系判斷出函數的單調性，從而確定出函數的最值在何處取到，建立起關于參數的方程求出參數的值．