Question

6．函數y=ax²-2x的圖象上有且僅有兩個點到直線y=x的距離等于$\sqrt{2}$，則實數a的取值集合是{a|a＜-$\frac{9}{8}$或a=0或a$＞\frac{9}{8}$}．

Answer 1

分析 對a進行分類討論，得出y=ax²-2x與y=x±2的位置關系，根據交點個數判斷a的范圍．

解答 解：（1）若a=0，則y=2x與y=x為相交直線，
顯然y=2x上存在兩點到y=x的距離等于$\sqrt{2}$，符合題意；
（2）若a＞0，則y=ax²-2x與直線y=x相交，
∴y=ax²-2x在直線y=x上方的圖象必有2點到直線y=x的距離等于$\sqrt{2}$，
又直線y=x與y=x-2的距離為$\sqrt{2}$，
∴拋物線y=ax²-2x與直線y=x-2不相交，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}-2x}\\{y=x-2}\end{array}\right.$，消元得ax²-3x+2=0，
∴△=9-8a＜0，解得a$＞\frac{9}{8}$．
（3）若a＜0，同理可得a＜-$\frac{9}{8}$．
故答案為：{a|a＜-$\frac{9}{8}$或a=0或a$＞\frac{9}{8}$}．

點評 本題考查了二次函數的性質，直線與曲線的位置關系，屬于中檔題．