Question

16．已知函數f（x）=（x-1）e^x-kx²+2，k∈R．
（Ⅰ） 當k=0時，求f（x）的極值；
（Ⅱ） 若對于任意的x∈[0，+∞），f（x）≥1恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論k的范圍，求出函數的單調區間，求出函數的最小值，根據f（x）_min≥1，求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）k=0時，f（x）=（x-1）e^x+2，
f′（x）=xe^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
故f（x）_極小值=f（0）=1；
（Ⅱ）f′（x）=x（e^x-2k），
①k≤$\frac{1}{2}$時，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）遞增，
f（x）_min=f（0）=1≥1成立，
②k＞$\frac{1}{2}$時，ln2k＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞ln2k，
令f′（x）＜0，解得：x＜ln2k，
故f（x）在[0，ln2k）遞減，在（ln2k，+∞）遞增，
故f（x）_min=f（ln2k）=-k[（ln2k-1）²+1]+1＜1，
故k＞$\frac{1}{2}$不合題意，
綜上，k≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．