Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x+1（a∈R）．
（1若關于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜2}，求a，m的值；
（2）設關于x的不等式f（x）≤0的解集是A，集合B={x|0≤x≤1}，若 A∩B=∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）應用一元二次不等式和方程的關系結合根與系數(shù)的關系得到關于a，m的方程組，求出a，m的值即可；
（2）問題轉化為a+1＜x+$\frac{1}{x}$對于x∈（0，1]恒成立（當x=0時，1＞0恒成立）；求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵關于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜2}，
∴對應方程x²-（m+1）x+1=0的兩個實數(shù)根為m、2，
由根與系數(shù)的關系，得$\left\{{\begin{array}{l}{m•2=1}\\{m+2=a+1}\end{array}}\right.$，解得a=$\frac{3}{2}$，m=$\frac{1}{2}$；
（2）∵關于x的不等式f（x）≤0的解集是 A，
集合B={x|0≤x≤1}，當 A∩B=φ時，即不等式f（x）＞0對x∈B恒成立；
即x∈[0，1]時，x²-（a+1）x+1＞0恒成立，
∴a+1＜x+$\frac{1}{x}$對于x∈（0，1]恒成立（當x=0時，1＞0恒成立）；
∵當x∈（0，1]時，$x+\frac{1}{x}≥2（當且僅當x=1時等號成立）$
∴a+1＜2，即a＜1，∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a＜1}．

點評 本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程以及對應不等式的解法與應用問題，考查了轉化思想的應用問題，是綜合性題目．