Question

20．已知a＞b，一元二次不等式ax²+2x+b≥0對于一切實數x恒成立，又?x₀∈R，使ax₀²+2x₀+b=0成立，則2a²+b²的最小值為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據二次函數的性質求出ab=1，根據基本不等式的性質求出2a²+b²的最小值即可．

解答 解：∵已知a＞b，二次不等式ax²+2x+b≥0對于一切實數x恒成立，
∴a＞0，且△=4-4ab≤0，∴ab≥1．
再由?x₀∈R，使ax₀²+2x₀+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，
∴2a²+b²≥2$\sqrt{{{2a}^{2}b}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
當且僅當2a²=b²即b=$\sqrt{2}$a時“=”成立，
故選：D．

點評 本題考查了二次函數的性質，考查不等式的性質，是一道中檔題．