Question

3．甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$．假設兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響．
（1）求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標的概率；
（2）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率．

Answer 1

分析 （1）記“甲連續射擊4次至少有1次未擊中目標”為事件A₁．由題意，射擊4次相當于作4次獨立重復試驗．由此利用對立事件概率計算公式能求出甲連續射擊4次至少有一次未擊中目標的概率．
（2）記“甲射擊4次，恰有2次擊中目標”為事件A₂，“乙射擊4次，恰有3次擊中目標”為事件B₂，利用n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率計算公式、相互獨立事件概率乘法公式，能求出兩人各射擊4次甲恰有2次擊中目標且乙恰有3次擊中目標的概率．

解答 解：（1）記“甲連續射擊4次至少有1次未擊中目標”為事件A₁．
由題意，射擊4次相當于作4次獨立重復試驗．
故P（A₁）=1-P（$\overline{{A}_{1}}$）=1-（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{65}{81}$，
所以甲連續射擊4次至少有一次未擊中目標的概率為$\frac{65}{81}$．-------------（6分）
（2）記“甲射擊4次，恰有2次擊中目標”為事件A₂，“乙射擊4次，恰有3次擊中目標”為事件B₂，
則P（A₂）=${C}_{4}^{2}$×（$\frac{2}{3}$）²×（1-$\frac{2}{3}$）^4-2=$\frac{8}{27}$；
P（B₂）=${C}_{4}^{3}$×（$\frac{3}{4}$）³×（1-$\frac{3}{4}$）^4-3=$\frac{27}{64}$．
由于甲、乙射擊相互獨立，
故P（A₂B₂）=P（A₂）•P（B₂）=$\frac{8}{27}$×$\frac{27}{64}$=$\frac{1}{8}$．
所以兩人各射擊4次甲恰有2次擊中目標且乙恰有3次擊中目標的概率為$\frac{1}{8}$．-----------（12分）

點評 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式、n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率計算公式、對立事件概率計算公式的合理運用．