Question

13．已知x=1是f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{（{x^2}+ax）{e^x}，x＞0}\\{bx，x≤0}\end{array}}$函數的極值點．
（Ⅰ）求的a值；
（Ⅱ）函數y=f（x）-m有2個零點，求m的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，是f′（1），得到關于a的方程，解出即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，求出f（x）的最小值，通過討論b的范圍，結合函數的圖象求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵x＞0時，f′（x）=（x²+ax+2x+a）e^x，
∴f′（1）=（3+2a）e，
由題意得f′（1）=0，故a=-$\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x，
問題可轉化為y=f（x）與y=m圖象有2個交點，
x＞0時，f（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x，
∴f′（x）=（x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$）e^x．
令f′（x）=0得x=1或x=-$\frac{3}{2}$（舍），
∴f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴當x＞0時，f（x）_min=f（1）=-$\frac{e}{2}$，
①當b＜0時，f（x）的草圖如圖①：

故m＞-$\frac{e}{2}$時滿足題意；                                                 
②當b=0時f（x）的草圖如圖②：

故-$\frac{e}{2}$＜m＜0時滿足題意；                                                 
③當b＞0時f（x）的草圖如圖③：

故m=-$\frac{e}{2}$或m=0時滿足題意；
綜上所述：當b＜0時，m＞-$\frac{e}{2}$；
當b=0時，-$\frac{e}{2}$＜m＜0；
當b＞0時，m=-$\frac{e}{2}$或m=0．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．