Question

8．已知偶函數f（x）滿足f（4+x）=f（4-x），且當x∈（0，4]時，f（x）=$\frac{{ln（{2x}）}}{x}$，關于x的不等式f²（x）+af（x）＞0在[-200，200]上有且只有200個整數解，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-\frac{1}{3}ln6，ln2}]$
• B． $（{-ln2，-\frac{1}{3}ln6}）$
• C． $（{-ln2，-\frac{1}{3}ln6}]$
• D． $（{-\frac{1}{3}ln6，ln2}）$

Answer 1

分析 判斷f（x）在（0，8）上的單調性，根據對稱性得出不等式在一個周期（0，8）內有4個整數解，再根據對稱性得出不等式在（0，4）上有2個整數解，從而得出a的范圍．

解答 解：當0＜x≤4時，f′（x）=$\frac{1-ln2x}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0得x=$\frac{e}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{e}{2}$）上單調遞增，在（$\frac{e}{2}$，4）上單調遞減，
∵f（x）是偶函數，
∴f（x+4）=f（4-x）=f（x-4），
∴f（x）的周期為8，
作出f（x）一個周期內的函數圖象如圖所示：

∵f（x）是偶函數，且不等式f²（x）+af（x）＞0在[-200，200]上有且只有200個整數解，
∴不等式在（0，200）內有100個整數解，
∵f（x）在（0，200）內有25個周期，
∴f（x）在一個周期（0，8）內有4個整數解，
（1）若a＞0，由f²（x）+af（x）＞0，可得f（x）＞0或f（x）＜-a，
顯然f（x）＞0在一個周期（0，8）內有7個整數解，不符合題意；
（2）若a＜0，由f²（x）+af（x）＞0，可得f（x）＜0或f（x）＞-a，
顯然f（x）＜0在區間（0，8）上無解，
∴f（x）＞-a在（0，8）上有4個整數解，
∵f（x）在（0，8）上關于直線x=4對稱，
∴f（x）在（0，4）上有2個整數解，
∵f（1）=ln2，f（2）=$\frac{ln4}{2}$=ln2，f（3）=$\frac{ln6}{3}$，
∴f（x）＞-a在（0，4）上的整數解為x=1，x=2．
∴$\frac{ln6}{3}$≤-a＜ln2，
解得-ln2＜a≤-$\frac{ln6}{3}$．
故選C．

點評 本題考查了不等式與函數單調性，函數圖象的關系，屬于中檔題．