Question

2．已知不等式x³+x²-b$≤\frac{{e}^{x}+2ex}{ex}$對?x∈（0，1]恒成立，則實數b的取值范圍是（　　）

• A． [-1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． [-1，1]
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 設f（x）=x³+x²-b，x∈（0，1]，g（x）=$\frac{{e}^{x}+2ex}{ex}$，x∈（0，1]，分別求出導數，判斷單調性，可得最值，由f（x）的最大值小于等于g（x）的最小值，解不等式即可得到b的范圍．

解答 解：設f（x）=x³+x²-b，x∈（0，1]，
可得f′（x）=3x²+2x＞0在（0，1]恒成立，
可得f（x）在（0，1]遞增，
f（1）取得最大值2-b；
設g（x）=$\frac{{e}^{x}+2ex}{ex}$，x∈（0，1]，
則g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{e{x}^{2}}$，
可得g′（x）≤0在（0，1]恒成立，
g（x）在（0，1]遞減，
g（1）取得最小值3，
則2-b≤3，
解得b≥-1．
故選：A．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用構造函數法，由導數判斷單調性，轉化為最值的關系，考查運算能力，屬于中檔題．