Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1=a_n+4，且a₁=2，{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}是公差d=a_n+1-a_n=4，首項(xiàng)a₁=2的等差數(shù)列，由此能求出a_n，由{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁，求出首項(xiàng)與公比，由此能出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{4n-2}{2×（\frac{1}{4}）^{n-1}}$=（2n-1）×4^n-1，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1=a_n+4，且a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是公差d=a_n+1-a_n=4，首項(xiàng)a₁=2的等差數(shù)列，
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．
∵{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
∴b₁=a₁=2，${b}_{2}=\frac{{b}_{1}}{{a}_{2}-{a}_{1}}$=$\frac{2}{（4×2-2）-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴q=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴b_n=2×（$\frac{1}{4}$）^n-1．
（2）∵c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{4n-2}{2×（\frac{1}{4}）^{n-1}}$=（2n-1）×4^n-1，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=1×4⁰+3×4¹+5×4²+…+（2n-1）×4^n-1，①
4T_n=1×4+3×4²+5×4³+…+（2n-1）×4ⁿ，②
①-②，得：
-3T_n=1+2（4+4²+4³+…+4^n-1）-（2n-1）×4ⁿ
=1+2×$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$-（2n-1）×4ⁿ
=（$\frac{5}{3}-2n$）×4ⁿ-$\frac{5}{3}$，
∴T_n=（$\frac{2n}{3}-\frac{5}{9}$）×4ⁿ+$\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查等比數(shù)列、等差數(shù)列、錯(cuò)位相減法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．