Question

6．直線l在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上截得的弦長為4，且l的斜率為2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 設直線l方程為y=2x+b，聯立方程組求出交點坐標的關系，利用弦長公式列方程解出b即可得出結論．

解答 解：設直線l的方程為y=2x+b，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=2x+b}\end{array}\right.$，消元得：10x²+12bx+3b²+6=0，
設直線l與雙曲線的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{6b}{5}$，x₁x₂=$\frac{3{b}^{2}+6}{10}$，
∴|AB|=$\sqrt{5}$$\sqrt{\frac{36{b}^{2}}{25}-\frac{6{b}^{2}+12}{5}}$=4，
解得b=±$\frac{\sqrt{210}}{3}$．
∴直線l的方程為：y=2x+$\frac{\sqrt{210}}{3}$或y=2x-$\frac{\sqrt{210}}{3}$．

點評 本題考查了直線與雙曲線的位置關系，弦長公式，屬于中檔題．