Question

14．已知函數f（x）=（x²-x+1）e^x，其中e是自然對數的底數．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x∈[-2，+∞）時，討論函數f（x）的圖象與直線y=m的公共點個數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）根據函數的單調性求出函數的端點值和極值，通過討論m的范圍，求出函數f（x）的圖象與直線y=m的公共點個數即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x²-x+1）e^x，
f′（x）=x（x+1）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
故f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）在[-2，-1）遞增，在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
而f（-2）=$\frac{7}{{e}^{2}}$，f（-1）=$\frac{3}{e}$，f（0）=1＜f（-2），
故m＞$\frac{3}{e}$時，f（x）的圖象與直線y=m的公共點個數是1個，
m=$\frac{3}{e}$時，f（x）的圖象與直線y=m的公共點個數是2個，
1＜m＜$\frac{3}{e}$時，f（x）的圖象與直線y=m的公共點個數是3個，
m=1時，f（x）的圖象與直線y=m的公共點個數是2個，
$\frac{7}{{e}^{3}}$≤m＜1時，f（x）的圖象與直線y=m的公共點個數是1個；
m＜$\frac{7}{{e}^{3}}$時，f（x）的圖象與直線y=m的公共點個數是0個．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．