Question

6．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n+1-2S_n=1（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=n+$\frac{n}{{a}_{n}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得S_n+1+1=2（S_n+1），即有數列{S_n+1}是以S₁+1=2，2為公比的等比數列，運用等比數列的通項公式和數列的遞推式，可得所求通項公式；
（2）求出b_n=n+$\frac{n}{{a}_{n}}$=n+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，運用數列的求和方法：分組求和和錯位相減法，結合等差數列和等比數列的求和公式，化簡計算即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁=1，S_n+1-2S_n=1，
即為S_n+1+1=2（S_n+1），
即有數列{S_n+1}是以S₁+1=2，2為公比的等比數列，
則S_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
即S_n=2ⁿ-1，n∈N*，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1，
上式對n=1也成立，
則數列{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1，n∈N*；
（2）b_n=n+$\frac{n}{{a}_{n}}$=n+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
前n項和T_n=（1+2+3+…+n）+[1•1+2•（$\frac{1}{2}$）+3•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1]，
設M_n=1•1+2•（$\frac{1}{2}$）+3•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$M_n=1•$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
相減可得，$\frac{1}{2}$M_n=1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化簡可得M_n=4-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
則T_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）+4-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）^n-1．

點評 本題考查數列的通項的求法，注意運用構造數列法，考查等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列數列的求和方法：分組求和和錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．