Question

5．已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n+3n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=2a_n-1（n∈N⁺），可得n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1．n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁，利用等比數列的通項公式即可得出．
（II）b_n=a_n+3n=2^n-1+3n，再利用等差數列與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=2a_n-1（n∈N⁺），∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化為：a_n=2a_n-1．
n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1，
∴數列{a_n}是等比數列，公比為2，首項為1．
∴a_n=2^n-1．
（II）b_n=a_n+3n=2^n-1+3n，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+3×$\frac{n（n+1）}{2}$
=2ⁿ-1+$\frac{3{n}^{2}+3n}{2}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．