Question

14．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-y²=1（a＞0）的一條漸近線方程為$\sqrt{3}$x+y=0，則該雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 根據題意，由雙曲線的方程可得其漸近線方程，分析可得$\frac{1}{a}$=$\sqrt{3}$，則a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由雙曲線的幾何性質可得c的值，進而由雙曲線的離心率公式計算可得答案．

解答 解：根據題意，雙曲線的方程為$\frac{x^2}{a^2}$-y²=1（a＞0），
其漸近線方程為y=±$\frac{x}{a}$，
若其一條漸近線方程為$\sqrt{3}$x+y=0，即y=-$\sqrt{3}$x，
則有$\frac{1}{a}$=$\sqrt{3}$，則a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
c=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
該雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=2；
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是由雙曲線的漸近線方程求出a、b的關系．