Question

4．設函數$f（x）=sinωx+sin（ωx-\frac{π}{2}）$．
（1）若$ω=\frac{1}{2}$，求f（x）的最大值及相應的x的取值范圍；
（2）若$x=\frac{π}{8}$是f（x）的一個零點，且0＜ω＜10，求ω的值和f（x）的最小正周期．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式和輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結合三角函數的圖象和性質，可得最大值，及相應的x的取值范圍；
再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（2）當$x=\frac{π}{8}$時，f（x）=0，0＜ω＜10，可求ω的值和f（x）的最小正周期．

解答 解：函數$f（x）=sinωx+sin（ωx-\frac{π}{2}）$．
化簡可得：f（x）=sinωx-cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx$-\frac{π}{4}$）
∴$f（x）=\sqrt{2}sin（{ωx-\frac{π}{4}}）$，
（1）當$ω=\frac{1}{2}$時，$f（x）=\sqrt{2}sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}}）$，
∴當$\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ$時，函數f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，
∴相應x的取值集合為$\left\{{\left.x\right|x=\frac{3π}{2}+4kπ，k∈Z}\right\}$；
（2）∵$f（{\frac{π}{8}}）=\sqrt{2}sin（{\frac{π}{8}x-\frac{π}{4}}）=0$，
得：$\frac{π}{8}x-\frac{π}{4}=kπ$，k∈Z．
又0＜ω＜10．
∴k=0，ω=2，
則函數.$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用．屬于基礎題．