Question

13．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A₁，A₂，過F做x軸的垂線交雙曲線于B，C兩點(diǎn)，若A₁B⊥A₂C，則雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得B和C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線的斜率公式可得k₁×k₂=-1，即可求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1，根據(jù)雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：左、右頂點(diǎn)分別是A₁（-a，0），A₂（a，0），
當(dāng)x=c時(shí)，代入雙曲線方程，解得：y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
設(shè)B（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
則直線A₁B的斜率k₁=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}-0}{c-（-a）}$=$\frac{{b}^{2}}{a（c+a）}$，
直線A₂C的斜率k₂=$\frac{-\frac{{b}^{2}}{a}-0}{c-a}$=-$\frac{{b}^{2}}{a（c-a）}$，
由A₁B⊥A₂C，則k₁×k₂=-1，即$\frac{{b}^{2}}{a（c+a）}$×$\frac{{b}^{2}}{a（c-a）}$=1，
則$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．