Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosωx，sinωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），其中0＜ω＜2，函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$，其中圖象的一條對稱軸為x=$\frac{π}{6}$．
（1）求函數f（x）的表達式及單調遞增區間；
（2）將函數y=f（x）的圖象向左平移$\frac{2π}{3}$個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）的對稱中心．

Answer 1

分析 （1）先由向量數量積的坐標表示得出f（x），利用三角恒等變換公式對其進行化簡，函數f（x）圖象的一條對稱軸的方程為x=$\frac{π}{6}$，由三角函數圖象的性質知，當自變量為x=$\frac{π}{6}$時，函數取到最大值或最小值，由此關系建立方程求出ω的值．得出函數解析式，再由正弦函數的性質求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得g（x）的解析式，再根據正弦函數的對稱性可求對稱中心．

解答 解：（1）由已知可得f（x）=cos²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{1+cos2ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）．
∵直線x=$\frac{π}{6}$是函數f（x）圖象的一條對稱軸，
∴2ω×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得ω=3k+1．
又∵0＜ω＜2，
∴令k=0，得ω=1．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$．
故函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）…（8分）
（2）將函數y=f（x）的圖象向左平移$\frac{2π}{3}$個單位，
可得函數y=sin[2（x+$\frac{2π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{3π}{2}$）=-cos2x的圖象；
再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，
得到函數y=g（x）=-cos$\frac{1}{2}$x 的圖象．
由$\frac{1}{2}$x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=2kπ+π，k∈Z，
可得函數y=g（x）的對稱中心為：（2kπ+π，0），k∈Z…（12分）

點評 本題考查三角函數恒等變換的運用，由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，三角函數的對稱性，三角函數的單調性的求法，解題的關鍵是熟記三角恒等變換公式，熟練掌握三角函數的性質，本題知識性較強，在近年的高考題中多有出現．題后要注意總結此類題的做題規律，屬于基礎題．