Question

4．若點P是曲線y=2x-e^x上任意一點，則點P到直線y=x的最小距離為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 對函數y=f（x）=2x-e^x求導，直線y=x的斜率k=1，當斜率為1且與曲線相切的直線L與直線y=x的距離最小．

解答 解：對函數y=f（x）=2x-e^x求導：f'（x）=2-e^x；
直線y=x的斜率k=1，當斜率為1且與曲線相切的直線L與直線y=x的距離最小．
當f'（x）=1時，解得x=0；所以知f（0）=-1；
故直線L方程為：y+1=x；
利用兩平行之間的距離公式d=$\frac{|{C}_{1}-{C}_{2}|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故選：C．

點評 本題主要考查了利用導數求曲線切點直線方程，以及兩平行線之間的距離公式，屬基礎題．