Question

14．已知函數f（x）=lg（1-x）-lg（1+x）
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）用單調性的定義證明f（x）是減函數．

Answer 1

分析 （1）根據函數解析式1-x＞0，1+x＞0求解即可；
（2）利用f（-x）=-f（x）驗證f（x）為奇函數；
（3）利用函數單調性定義直接證明f（x）的單調性；

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}}\right.$得：-1＜x＜1．
所以，函數f（x）的定義域為（-1，1）．
（2）∵f（-x）=lg（1+x）-lg（1-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數．
（3）任取x₁，x₂∈（-1，1），
當x₁＜x₂時，1-x₁＞1-x₂，1+x₁＜1+x₂；
∴lg（1-x₁）＞lg（1-x₂），-lg（1+x₁）＞-lg（1+x₂）；
∴lg（1-x₁）-lg（1+x₁）＞lg（1-x₂）-lg（1+x₂），
∴f（x₁）＞f（x₂）．
故函數f（x）是減函數．

點評 本題主要考查了函數的定義域，函數奇偶性以及函數單調性定義證明，屬基礎題．