Question

19．已知f（x）為二次函數，其導函數f′（x）滿足f′（x）lnx＜$\frac{f（x）}{x}$，則有（　　）

• A． f（2）＜f（e）ln2，2f（e）＞f（e²）
• B． f（2）＜f（e）ln2，2f（e）＜f（e²）
• C． f（2）＞f（e）ln2，2f（e）＜f（e²）
• D． f（2）＞f（e）ln2，2f（e）＞f（e²）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，x∈（0，+∞），求出函數的導數，根據函數的單調性求出函數值的大小即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，x∈（0，+∞），
故g′（x）=$\frac{f′（x）lnx-f（x）•\frac{1}{x}}{{（lnx）}^{2}}$，
∵f′（x）lnx＜$\frac{f（x）}{x}$，∴f′（x）lnx-f（x）$\frac{1}{x}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）遞減，
∴g（2）＞g（e），即$\frac{f（2）}{ln2}$＞$\frac{f（e）}{lne}$，f（2）＞f（e）ln2，
g（e）＞g（e²），即$\frac{f（e）}{lne}$＞$\frac{f{（e}^{2}）}{l{ne}^{2}}$，2f（e）＞f（e²），
故選：D．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查函數值的大小比較，是一道中檔題．