Question

10．已知各項均為正數的等差數列{a_n}，且a₁+a₇=20，a₁•a₇=64．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{{a}_{n}}{2×{4}^{n}}$，求數列的前n項和．

Answer 1

分析 （I）利用基本量法，求出首項與公差，即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{{a}_{n}}{2×{4}^{n}}$，利用錯位相消法求數列的前n項和．

解答 解：（I）依題意，可設等差數列{a_n}的公差為d≠0，
則有$\left\{\begin{array}{l}2{a_1}+6d=20\\{a_1}（{a_1}+6d）=64\end{array}\right.$，…（2分）
解得$\left\{\begin{array}{l}d=2\\{a_1}=4\end{array}\right.$或者$\left\{\begin{array}{l}d=-2\\{a_1}=16\end{array}\right.$（舍去）…（4分）
故所求a_n=2n+2．…（6分）
（Ⅱ）由（I）知a_n=2（n+1）
所以${b_n}=\frac{2（n+1）}{{2×{4^n}}}=\frac{n+1}{4^n}$${T_n}=2×\frac{1}{4}+3×{（{\frac{1}{4}}）^2}+4×{（{\frac{1}{4}}）^3}+…+（n+1）{（{\frac{1}{4}}）^n}$$\frac{1}{4}{T_n}=2×{（{\frac{1}{4}}）^2}+3×{（{\frac{1}{4}}）^3}+4×{（{\frac{1}{4}}）^4}+…+n×{（{\frac{1}{4}}）^n}+（n+1）{（{\frac{1}{4}}）^{n+1}}$…（8分）
兩式相減，得$\frac{3}{4}{T_n}=2×{（{\frac{1}{4}}）^1}+{（{\frac{1}{4}}）^2}+{（{\frac{1}{4}}）^3}+…+{（{\frac{1}{4}}）^n}-（n+1）{（{\frac{1}{4}}）^{n+1}}$=$\frac{7}{12}-\frac{7+3n}{3}{（{\frac{1}{4}}）^{n+1}}$…（10分）
所以  ${T_n}=\frac{7}{9}-\frac{7+3n}{9}{（{\frac{1}{4}}）^n}$．…（12分）

點評 本題考查等差數列的通項與求和，考查錯位相減法的運用，確定數列的通項是關鍵．