Question

20．若f（x）=x²-2x+3，g（x）=log₂x+m，?x₁，x₂∈[1，4]，有f（x₁）≥g（x₂）成立，則實數m的取值范圍是（-∞，0]．

Answer 1

分析 利用二次函數與對數函數的單調性可求得當x₁，x₂∈[1，4]時，f（x₁）_min=2，g（x₂）_max=2+m，依題意，f（x₁）_min≥g（x₂）_max，解之即可求得實數m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=x²-2x+3的開口方向向上，對稱軸方程為：x=1，
∴當x₁∈[1，4]時，f（x₁）_min=f（1）=2；
又g（x）=log₂x+m為增函數，
∴當x₂∈[1，4]時，g（x₂）_max=log₂4+m=2+m，
∵?x₁，x₂∈[1，4]，有f（x₁）≥g（x₂）成立，
∴f（x₁）_min≥g（x₂）_max，即2≥2+m，
解得：m≤0．
故答案為：（-∞，0]．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查二次函數與對數函數的單調性與閉區間上的最值的求法，分析得到f（x₁）_min≥g（x₂）_max是關鍵，考查推理與運算能力，屬于中檔題．