Question

5．求形如函數(shù)y=f（x）^g（x）（f（x）＞0）的導(dǎo)數(shù)的方法可以為：先兩邊同取自然對(duì)數(shù)lny=g（x）lnf（x），再兩邊同時(shí)求導(dǎo)得到$\frac{1}{y}•{y^'}={g^'}（x）lnf（x）+g（x）•\frac{1}{f（x）}•{f^'}（x）$，于是得到y(tǒng)′，試用此法求的函數(shù)$y={x^{x^2}}$（x＞0）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（　　）

• A． （e，4）
• B． $（\frac{1}{{\sqrt{e}}}，+∞）$
• C． （0，e）
• D． $（0，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）$

Answer 1

分析 根據(jù)定義，先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解不等式即可．

解答 解：由題意得：
y′=f（x）^g（x）[g′（x）lnf（x）+g（x）•$\frac{1}{f（x）}$•f′（x）]
=${x}^{{x}^{2}}$（2xlnx+x²•$\frac{1}{x}$）
=${x}^{{x}^{2}}$（2xlnx+x），
令y′＞0，解得：x＞$\frac{1}{\sqrt{e}}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，要求首先讀懂定義，并熟練掌握導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，同時(shí)要注意函數(shù)的定義域．屬簡(jiǎn)單題．