Question

16．已知x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{3x-y≤0}\\{2y-3x-6≤0}\\ \begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\end{array}\end{array}}\right.$，則$z=\frac{2^x}{{\sqrt{2^y}}}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． 1
• D． ${2^{-\frac{3}{2}}}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域．化簡目標函數，利用函數的幾何意義，求解即可．

解答 解：$z={2^{x-\frac{y}{2}}}$，設$m=x-\frac{y}{2}$，要使z最小，則只需求m的最小值即可．
作出不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{3x-y≤0}\\{2y-3x-6≤0}\\ \begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\end{array}\end{array}}\right.$對應的平面區域．由$m=x-\frac{y}{2}$得y=2x-2m，
平移直線，由平移可知當直線y=2x-2m經過點（0，3）時，
直線y=2x-2m的截距最大，此時m最小，
∴$z={2^{x-\frac{y}{2}}}$的最小值為${2^{-\frac{3}{2}}}$，
故選：D．

點評 本題考查線性規劃的應用，轉化目標函數為線性關系是解題的關鍵之一，考查數形結合思想的應用．