Question

8．設函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）在一個周期內的圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，π]上的單調區間．

Answer 1

分析 （1）根據圖形，直接代入點（0，$\sqrt{3}$），（$\frac{π}{2}$，$\sqrt{3}$）列出方程即可；
（2）求出函數解析式后，直接代入y=sinx的單調增或減區間，解出x的取值范圍即可．

解答 解：（1）由圖形易知A=2，
將點（0，$\sqrt{3}$），（$\frac{π}{2}$，$\sqrt{3}$）代入，有$\left\{\begin{array}{l}{sinφ=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{sin（\frac{π}{2}ω+φ）=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$
∵0＜|φ|＜π，∴$\left\{\begin{array}{l}{φ=\frac{π}{3}}\\{ω=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，故f（x）=2sin（$\frac{2}{3}x$+$\frac{π}{3}$）．
（2）由（1）知f（x）=2sin（$\frac{2}{3}x$+$\frac{π}{3}$），
要使f（x）單調遞增，則2k$π-\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}x+\frac{π}{3}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，
即$3kπ-\frac{5π}{4}$≤x≤3kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，f（x）的單調遞增區間為[$3kπ-\frac{5π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
k=0，得[-$\frac{5π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴f（x）在[0，π]上的單調遞增區間[0，$\frac{π}{4}$]．
要f（x）單調遞減，則$2kπ+\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}x+\frac{π}{3}$≤$2kπ+\frac{3π}{2}$，
即$3kπ+\frac{π}{4}≤$ x $≤\$ 3k$π+\frac{7π}{4}$，k∈Z，∴f（x）的單調遞減區間為[3kπ+$\frac{π}{4}$，3k$π+\frac{7π}{4}$]，k∈Z．
取k=0，得[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{4}$]，∴f（x）在[0，π]上的單調遞減區間[$\frac{π}{4}$，π]．
故f（x）在[0，π]上的單調遞增區間[0，$\frac{π}{4}$]，單調遞減區間為[$\frac{π}{4}$，π]．

點評 本題主要考查了三角函數圖形求解析式，以及三角函數的單調增減區間，屬中等題．