Question

6．已知在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北偏東30°，俯角為30°的B處，到11時10分又測得該船在島北偏西60°，俯角為60°的C處．小船沿BC行駛一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，此時船距島A有$\frac{{9+\sqrt{3}}}{13}$千米．

Answer 1

分析 先Rt△PAB、Rt△PAC中確定AB、AC的長，進而求得，∠CAB=30°+60°=90°，最后利用勾股定理求得BC．利用sin∠DCA=sin（180°-∠ACB）=sin∠ACB求得sin∠DCA的值，利用sin∠CDA=sin（∠ACB-30°）=sin∠ACB•cos30°-cos∠ACB•sin30°求得sin∠CDA的值，進而利用正弦定理求得AD．

解答 解：（1）在Rt△PAB中，∠APB=60°，PA=1，
∴AB=$\sqrt{3}$．
在Rt△PAC中，∠APC=30°，
∴AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$．
在△ACD中，∠DAC=90°-60°=30°，
sin∠DCA=sin（180°-∠ACB）=sin∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{30}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
sin∠CDA=sin（∠ACB-30°）
=sin∠ACB•cos30°-cos∠ACB•sin30°
=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$\frac{（3\sqrt{3}-1）\sqrt{10}}{20}$．

由正弦定理得$\frac{AD}{sin∠DCA}$=$\frac{AC}{sin∠CDA}$．
∴AD=$\frac{AC•sin∠DCA}{sin∠CDA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}•\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{（3\sqrt{3}-1）\sqrt{10}}{20}}$=$\frac{{9+\sqrt{3}}}{13}$．
故此時船距島A有$\frac{{9+\sqrt{3}}}{13}$千米．
故答案是：$\frac{{9+\sqrt{3}}}{13}$．

點評 本題主要考查正弦定理和余弦定理的靈活運用．考查考生運用數學知識解決實際問題的能力．