Question

1．已知函數f（x）=tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求出函數y=f（x）的表達式；
（2）對任意的a∈R，求y=f（x）在區間[a，a+10π]上零點個數的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）由圖象，知f（0）=tanφ=0，且|φ|＜$\frac{π}{2}$，再由T=$\frac{π}{ω}$，能求出函數y=f（x）的表達式．
（2）函數f（x）=tan2x的最小正周期為$\frac{π}{2}$，則長度為10π的區間包含了20個周期，由此能求出y=f（x）在區間[a，a+10π]上零點個數的所有可能值．

解答 解：（1）由函數f（x）=tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，知：
f（0）=tanφ=0，且|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=0，∴f（x）=tanωx，
∵$\frac{T}{2}=\frac{π}{4}$，∴T=$\frac{π}{2}$，
∴T=$\frac{π}{ω}$，∴ω=$\frac{π}{T}=2$，
∴函數y=f（x）的表達式為f（x）=tan2x．
（2）由（1）知函數f（x）=tan2x的最小正周期為$\frac{π}{2}$，
則長度為10π的區間包含了20個周期，
若區間的端點恰好是零點，則20個周期有21個零點，
若區間的端點不是零點，則20個周期有20個零點，
∴y=f（x）在區間[a，a+10π]上零點個數的所有可能值是20或21．

點評 本題考查函數的表達式的求法，考查函數在閉區間內的零點個數的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數的圖象及性質的合理運用．