Question

13．某市甲、乙兩校高二級學生分別有1100人和1000人，為了解兩校全體高二級學生期 末統考的數學成績情況，采用分層抽樣方法從這兩所學校共抽取105名高二學生的數學 成績，并得到成績頻數分布表如下，規定考試成績在[120，150]為優秀．
甲校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
頻數	2	3	10	15	15	x	3	1

乙校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
頻數	1	2	9	8	10	10	y	3

（1）求表中x與y的值；
（2）由以上統計數據完成下面2×2列聯表，問是否有99%的把握認為學生數學成績優秀與所在學校有關？
（3）若以樣本的頻率作為概率，現從乙校總體中任取3人（每次抽取看作是獨立重復的），求優秀學生人數ξ的分布列和數學期望．

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

	甲校	乙校	總計
優秀
非優秀
總計

Answer 1

分析 （1）根據條件知道從甲校和乙校各自抽取的人數，做出頻率分布表中的未知數；
（2）根據所給的條件寫出列聯表，根據列聯表做出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較，得到沒有99%的把握認為認為學生數學成績優秀與所在學校有關．
（3）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，ξ服從ξ～B（3，$\frac{2}{5}$）的二項分布，由P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}$（$\frac{2}{5}$）^k（$\frac{3}{5}$）^3-k，（k=0，1，2，3），分別求得其概率，由ξ數學期望E（ξ）=np=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$，即可求得優秀學生人數ξ的數學期望$\frac{6}{5}$．

解答 解：（1）由分層抽樣可知：甲校抽取：105×$\frac{1100}{2100}$=55人，乙校抽取105-55=50，
∴2+3+10+15+15+x+3+1=55，解得：x=6，
由1+2+9+8+10+10+y+3=50，解得：y=7，
（2）由表中數據完成2×2列聯表：

	甲校	乙校	總計
優秀	10	20	30
非優秀	45	30	75
總計	55	50	105

由K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{105（10×30-20×45）^{2}}{30×75×55×50}$≈6.109＜6.635，
∴沒有99%的把握認為學生數學成績優秀與所在學校有關；
（3）由題意知，乙校優秀的概率為$\frac{2}{5}$，優秀學生人數ξ可能取值為0，1，2，3．
又ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），且P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}$（$\frac{2}{5}$）^k（$\frac{3}{5}$）^3-k，（k=0，1，2，3）
∴分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

∴隨機變量ξ數學期望：E（ξ）=np=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$，
優秀學生人數ξ的數學期望$\frac{6}{5}$．

點評 本題主要考查離散型隨機變量的期望與方差、獨立性檢驗的應用，解題的關鍵是正確運算出觀測值，理解臨界值對應的概率的意義，屬于中檔題．