Question

18．已知坐標平面上三點A（6，0），B（0，2$\sqrt{3}$），C（cosα，sinα），α∈[0，2π）
（1）求△ABC面積的表達式，并化簡成一個角的一個三角函數形式；
（參考公式：△ABC中，若$\overrightarrow{CA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{CB}$（x₂，y₂），則S_△ABC=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|）
（2）若（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$）²=43，（O為坐標原點），求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）容易求出$\overrightarrow{CA}=（6-cosα，-sinα）$，$\overrightarrow{CB}=（-cosα，2\sqrt{3}-sinα）$，然后代入提供的三角形面積公式即可得出△ABC的面積，然后根據兩角和的正弦公式進行化簡即可得到${S}_{△ABC}=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}sin（α+\frac{π}{6}）$；
（2）可以先求出$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OC}$的坐標，進而求出${\overrightarrow{OA}}^{2}，{\overrightarrow{OC}}^{2}$及$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$的值，從而由$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）^{2}=43$可求出cosα=$\frac{1}{2}$，而根據α∈[0，2π）即可求出$α=\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$，這樣分別代入（1）求出的△ABC的面積表達式便可求出△ABC的面積．

解答 解：（1）因為$\overrightarrow{CA}=（6-cosα，-sinα）$，$\overrightarrow{CB}=（-cosα，2\sqrt{3}-sinα）$；
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{（6-cosα）（2\sqrt{3}-sinα）-sinαcosα}|$
=$|{6\sqrt{3}-（3sinα+\sqrt{3}cosα）}|$
=$|{6\sqrt{3}-2\sqrt{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα）}|$
=$6\sqrt{3}-2\sqrt{3}sin（α+\frac{π}{6}）$，α∈[0，2π）；
（2）因為$\overrightarrow{OA}=（6，0）$，$\overrightarrow{OC}=（cosα，sinα）$；
所以$|{\overrightarrow{OA}}|=6$，$|{\overrightarrow{OC}}|=1$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=6cosα$；
由${（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）^2}=43$，得${\overrightarrow{OA}^2}+2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}+{\overrightarrow{OC}^2}=43$，所以36+12cosα+1=43；
解得$cosα=\frac{1}{2}$；
因為α∈[0，2π），所以$α=\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$；
當$α=\frac{π}{3}$時，${S_{△ABC}}=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}sin（\frac{π}{3}+\frac{π}{6}）=4\sqrt{3}$；
當$α=\frac{5π}{3}$時，${S_{△ABC}}=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}sin（\frac{5π}{3}+\frac{π}{6}）=7\sqrt{3}$；
所以△ABC的面積為$4\sqrt{3}$或$7\sqrt{3}$．

點評 考查根據點的坐標求向量的坐標的方法，兩角和的正弦公式，能根據向量坐標求向量長度，向量數量積的坐標運算，以及已知三角函數值求角．