Question

4．如圖所示，橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左，右頂點分別為A，A′，線段CD是垂直于橢圓長軸的弦，連接AC，DA′相交于點P，則點P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 設C（x₀，y₀），D（x₀，-y₀），求出直線AC和直線A′D的方程，將兩式相乘，再利用C點坐標的關系化簡得出軌跡方程．

解答 解：A（-3，0），A′（3，0），設C（x₀，y₀），D（x₀，-y₀），
∴直線AC的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），直線A′D的方程為y=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），
兩式相乘得到y²=$\frac{-{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$（x²-9），①，
∵C（x₀，y₀）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，
∴y₀²=4（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}$），
∴P點軌跡方程為y²=$\frac{4}{9}$（x²-9），即$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查了軌跡方程的求法，屬于中檔題．