Question

19．若曲線y=$\frac{1}{2e}$x²與曲線y=alnx在它們的公共點P（s，t）處具有公共切線，則實數a=1．

Answer 1

分析 求出兩個函數的導數然后求出公共點的斜率，利用斜率相等，有公共點解方程即可求出a的值．

解答 解：曲線y=$\frac{1}{2e}$x²的導數為：y′=$\frac{x}{e}$，
在P（s，t）處的斜率為：k=$\frac{s}{e}$．
曲線y=alnx的導數為：y′=$\frac{a}{x}$，
在P（s，t）處的斜率為：k=$\frac{a}{s}$．
曲線y=$\frac{1}{2e}$x²與曲線y=alnx在它們的公共點P（s，t）處具有公共切線，
可得$\frac{s}{e}$=$\frac{a}{s}$，并且t=$\frac{1}{2e}$s²，t=alns，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{s}{e}=\frac{a}{s}}\\{\frac{1}{2e}{s}^{2}=alns}\end{array}\right.$，解得lns=$\frac{1}{2}$，解得s²=e．
可得a=1．
故答案為：1．

點評 本題考查函數的導數，導數的幾何意義，切線的斜率以及方程思想的運用，考查計算能力，屬于中檔題．