Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{3}{7}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{4{a}_{n}+1}$，n∈N⁺．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-2}是等比數(shù)列，并且求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）對已知等式取倒數(shù)，再減2，結合等比數(shù)列的定義和通項公式即可得到結論；
（2）求得$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ+2n，運用數(shù)列的求和方法：分組求和和錯位相減法，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：由a₁=$\frac{3}{7}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{4{a}_{n}+1}$，n∈N⁺，
取倒數(shù)，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{4{a}_{n}+1}{3{a}_{n}}$=$\frac{1}{3{a}_{n}}$+$\frac{4}{3}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-2=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-2），
所以數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-2}是以$\frac{1}{3}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-2=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ；
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{{3}^{n}}{2×{3}^{n}+1}$，n∈N^*；
（2）$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ+2n，
設T_n=1•（$\frac{1}{3}$）+2•（$\frac{1}{3}$）²+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$T_n=1•（$\frac{1}{3}$）²+2•（$\frac{1}{3}$）³+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減得$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）²+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
所以T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$，
又2+4+6+…+2n=n²+n，
所以前n項和S_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$+n²+n．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，以及數(shù)列的求和方法：分組求和和錯位相減法，考查構造數(shù)列法和作差法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．