Question

1．如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是平行四邊形，側棱AA₁⊥底面ABCD，AB=1，AC=$\sqrt{3}$，BC=BB₁=2．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求二面角A-C₁D-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AB⊥AC，AA₁⊥AC，由此能證明AC⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）過點C作CP⊥C₁D于P，連接AP，則AC⊥平面DCC₁D₁，從而∠CPA是二面角A-C₁D-C的平面角，由此能求出二面角A-C₁D-C的平面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵在底面ABCD中，AB=1，AC=$\sqrt{3}$，BC=2，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵側棱AA₁⊥底面ABCD，∴AA₁⊥AC，
又∵AA₁∩AB=A，AA₁，AB?平面ABB₁A₁，
∴AC⊥平面ABB₁A₁．
解：（Ⅱ）過點C作CP⊥C₁D于P，連接AP，
由（Ⅰ）可知，AC⊥平面DCC₁D₁，
∠CPA是二面角A-C₁D-C的平面角，
∵CC₁=BB₁=2，CD=AB=1，∴CP=$\frac{DC×C{C}_{1}}{D{C}_{1}}$=$\frac{1×2}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴tan$∠CPA=\frac{AC}{CP}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，∴cos$∠CPA=\frac{2\sqrt{19}}{19}$，
∴二面角A-C₁D-C的平面角的余弦值為$\frac{2\sqrt{19}}{19}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．