Question

13．如圖，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF${\;}_{=}^{∥}$2CE，G是線段BF上一點，AB=AF=BC
（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求$\frac{BG}{BF}$的值；
（Ⅱ）是否在線段BF上存在點G滿足BF⊥平面AEG？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由線面平行的性質定理可得過EG的平面與平面ABC交于CD，D在AB上，連接GD，CD，可得EG∥CD，根據線面平行的判定定理和性質定理，證明CE∥GD，可得四邊形GDCE是平行四邊形，進而得到G為BF的中點；
（Ⅱ）根據面面垂直的性質定理以及線面垂直的判定定理和性質定理，建立空間直角坐標系，求出F，B，C，E的坐標，運用向量的數量積的坐標表示，計算$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{AE}$，即可得到結論．

解答 解：（Ⅰ）EG∥平面ABC，
過EG的平面與平面ABC交于CD，D在AB上，
連接GD，CD，
由線面平行的性質定理可得EG∥CD，
又因為AF∥CE，AF=2CE，
CE?平面ABF，AF?平面ABF，
CE∥平面ABF，CE?平面CEGD，
可得CE∥GD，
則四邊形GDCE是平行四邊形，
即有AF∥GD，AF=2GD，
即G為BF的中點，
則$\frac{BG}{BF}$=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）因為平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，
且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，
所以AF⊥AB，AF⊥BC，
因為BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．
如圖，以A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz．
設AB=AF=BC=2，
則F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），
因為$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{AE}$=（-2，0，2）•（2，2，1）=-2×2+2=0×2+2×1=-2≠0，
所以BF與AE不垂直，
所以不存在點G滿足BF⊥平面AEG．

點評 本題主要考查線面平行的判定和性質定理的運用，以及中位線定理的運用，線面垂直的存在性問題，建立空間直角坐標系，利用向量法是解決本題的關鍵．