Question

5．在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=30°，E為CD的中點．若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}=1$，則AB的長為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BE}$，利用數(shù)量積運算公式列出方程即可求出AB．

解答 解：∵ABCD是平行四邊形，E為CD的中點，
∴$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$）
=${\overrightarrow{AD}}^{2}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=1．
又${\overrightarrow{AD}}^{2}=1$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=1×AB×cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，${\overrightarrow{AB}}^{2}$=AB²，
∴1-$\frac{1}{2}$AB²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB=1，解得AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或AB=0（舍）．
故選C．

點評 本題考查了向量的線性運算，數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題．