Question

5．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a+2）x²+（2a+1）x+1沒有極值，則整數a的個數為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由已知得f′（x）=0沒有實數根或有1個實數根，由此能求出實數a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a+2）x²+（2a+1）x+1，
∴f′（x）=x²+（a+2）x+（2a+1），
∵函數f（x）沒有極值，
∴f′（x）=0沒有實數根或有1個實數根，
∴△=（a+2）²-4（2a+1）≤0，解得：0≤a≤4，
故整數a為0，1，2，3，4共5個，
故選：D．

點評 本題主要考查極值的概念、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．