Question

3．有一雙曲線方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1，{F_1}，{F_2}$是其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線上．
（1）若∠F₁MF₂=90°，求△F₁MF₂的面積；
（2）若∠F₁MF₂=60°時(shí)，△F₁MF₂的面積是多少？若∠F₁MF₂=120°時(shí)，△F₁MF₂的面積又是多少？

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線的定義，可求得||MF₁|-|MF₂||=2a，|F₁F₂|=2c，先由余弦定理求得|MF₁|•|MF₂|=2×$\frac{{b}^{2}}{1-cosθ}$，即有△F₁MF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|sin∠F₁MF₂=$\frac{{b}^{2}sinθ}{1-cosθ}={b}^{2}cot\frac{θ}{2}$．

解答 解：由雙曲線的定義可知||MF₁|-|MF₂||=2a，|F₁F₂|=2c，設(shè)∠F₁MF₂=θ，
在△F₁AF₂中，由余弦定理可得：
|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|cosθ=（|MF₁|-|MF₂|）²+2|MF₁|•|MF₂|（1-cosθ），
 可得4c²=4a²+2|MF₁|•|MF₂|（1-cosθ）⇒|MF₁|•|MF₂|=2×$\frac{{b}^{2}}{1-cosθ}$，
即有△F₁MF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|sin∠F₁MF₂=$\frac{{b}^{2}sinθ}{1-cosθ}={b}^{2}cot\frac{θ}{2}$．
（1）若∠F₁MF₂=90°，∵b²=9，θ=90⁰∴△F₁MF₂的面積S=9×cot45°=9．
（2）若∠F₁MF₂=60°時(shí)，△F₁MF₂的面積S=9×cot30°=9$\sqrt{3}$，
若∠F₁MF₂=120°時(shí)，△F₁MF₂的面積S=9×cot60°=3$\sqrt{3}$，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．