Question

6．已知數列{a_n}與{b_n}滿足a_n=2b_n+3（n∈N^*），若{b_n}的前n項和為S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）且λa_n＞b_n+36（n-3）+3λ對一切n∈N^*恒成立，則實數λ的取值范圍是（$\frac{13}{18}$，+∞）．

Answer 1

分析 由{b_n}的前n項和為S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）求得b_n，進一步得到a_n，把a_n，b_n代入λa_n＞b_n+36（n-3）+3λ，分離λ，然后求出關于n的函數的最大值得答案．

解答 解：由S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1），得${b}_{1}={S}_{1}=\frac{3}{2}（3-1）=3$，
當n≥2時，${b}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）-\frac{3}{2}（{3}^{n-1}-1）={3}^{n}$，
當n=1時，上式成立，∴${b}_{n}={3}^{n}$．
代入a_n=2b_n+3，得${a}_{n}=2•{3}^{n}+3$，
代入λa_n＞b_n+36（n-3）+3λ，得λ（a_n-3）＞b_n+36（n-3），
即2λ•3ⁿ＞3ⁿ+36（n-3），
則λ＞$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$．
由$\frac{18（n-2）}{{3}^{n+1}}-\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$=$\frac{126-36n}{{3}^{n+1}}＞0$，得n≤3．
∴n=4時，$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$有最大值為$\frac{13}{18}$．
故答案為：（$\frac{13}{18}$，+∞）．

點評 本題考查數列遞推式，考查了數列的函數特性，訓練了恒成立問題的求解方法，是中檔題．