Question

17．等比數列{a_n}中，a₁=3，a₄=24，則數列{$\frac{1}{a_n}$}的前5項和為（　　）

• A． $\frac{19}{25}$
• B． $\frac{25}{36}$
• C． $\frac{31}{48}$
• D． $\frac{49}{64}$

Answer 1

分析 根據等比數列的通項公式求得a_n，則易得$\frac{1}{a_n}$=$\frac{{2}^{1-n}}{3}$．然后來求數列{$\frac{1}{a_n}$}的前5項和．

解答 解：設等比數列{a_n}中的公比為q，
∵a₁=3，a₄=24，
則a₁q³=24，即3q³=24，
故q=2．
故a_n=3×2^n-1=$\frac{3×{2}^{n}}{2}$．
則$\frac{1}{a_n}$=$\frac{2}{3×{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{1-n}}{3}$．
∴數列{$\frac{1}{a_n}$}的前5項和為：$\frac{1}{3}$（2⁰+2^-1+2^-2+2^-3+2^-4）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1[1-（\frac{1}{2}）^{5}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{31}{48}$．
故選：C．

點評 本題主要考查等比數列的應用，根據等比數列建立條件關系求出公比是解決本題的關鍵．