Question

5．已知三棱錐ABCD的棱長都相等，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由題意：三棱錐ABCD的棱長都相等，可知該幾何體是正三棱錐．題目要求解的是兩條異面直線所成角的余弦值，且給出了棱AB的中點E，可以想到再找AD的中點F，連接兩中點EF，得到EF∥BD，則直線CE與直線BD所成角轉化為直線CE與直線EF所成角，在三角形CEF中運用余弦定理可求∠CEF的余弦值，則直線CE與直線BD所成角的余弦值可求．

解答 解：如圖，取AD中點F，連接EF，因為E、F分別為AB、AD的中點，
則EF為三角形ABD的中位線，所以EF∥BD，
所以直線EF與CE所成的角即為直線CE與直線BD所成角，
因為三棱錐A-BCD的棱長全相等，設棱長為2a，則EF=a，
在等邊三角形ABC中，因為F為AD的中點，所以CF為邊AD上的高，
所以CF=$\sqrt{A{C}^{2}-A{F}^{2}}=\sqrt{4{a}^{2}-{a}^{2}}=\sqrt{3}a$
同理∴CF=CE=$\sqrt{3}a$
在三角形CEF中：cos∠CEF=$\frac{F{E}^{2}+C{E}^{2}-C{F}^{2}}{2FE•CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
所以，直線CE與直線BD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故選B．

點評 本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現平行線的關鍵技巧，此題是中低檔題．