Question

13．已知等差數列{a_n}滿足a₁+a₂=3，a₄-a₃=1．設等比數列{b_n}且b₂=a₄，b₃=a₈
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=a_n+b_n，求數列{c_n}前n項的和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數列的性質可知：$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+d=3}\\{d=1}\end{array}}\right.$，求得首項及公差，根據等差數列通項公式即可求得數列{a_n}的通項公式，即可求得a₄，a₈，根據等比數列性質求得首項及公比，即可求得數列{b_n}的通項公式；
（2）由（1）可知：采用分組求和，根據等比數列及等差數列前n項和公式，即可求得數列{c_n}前n項的和S_n．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，則由$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+{a_2}=3}\\{{a_4}-{a_3}=1}\end{array}}\right.$，可得$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+d=3}\\{d=1}\end{array}}\right.$，…（1分）
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{d=1}\end{array}}\right.$，
∴由等差數列通項公式可知：a_n=a₁+（n-1）d=n，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=n，
∴a₄=4，a₈=8
設等比數列{b_n}的公比為q，則$\left\{{\begin{array}{l}{{b_1}q=4}\\{{b_1}{q^2}=8}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{b_1}=2}\\{q=2}\end{array}}\right.$，
∴${b_n}=2×{2^{n-1}}={2^n}$；
（2）∵${c_n}={a_n}+{b_n}=n+{2^n}$…（7分）
∴${S_n}=1+{2^1}+2+{2^2}+…+n+{2^n}=（1+2+…+n）+（{2^1}+{2^2}+…+{2^n}）$，
=$\frac{n（n+1）}{2}+\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}$，
=$\frac{n（n+1）}{2}+{2^{n+1}}-2$，
∴數列{c_n}前n項的和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}+{2^{n+1}}-2$．

點評 本題考查等差等比數列通項公式及前n項和公式，考查分組求和，考查計算能力，屬于中檔題．