Question

16．在△ABC中，D為BC邊上的動點，且AD=3，B=$\frac{π}{3}$．
（1）若cos∠ADC=$\frac{1}{3}$，求AB的值；
（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周長f（θ），并求當θ取何值時，周長f（θ）取到最大值？

Answer 1

分析 （1）由已知利用誘導公式可求cos∠ADB，利用同角三角函數基本關系式可求sin∠ADB，進而利用正弦定理可求AB的值．
（2）由已知利用正弦定理可得$BD=2\sqrt{3}sinθ，AB=2\sqrt{3}sin（\frac{2π}{3}-θ）$，從而利用三角函數恒等變換的應用可得f（θ）=$6sin（θ+\frac{π}{6}）+3$，利用正弦函數的性質即可得解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵$cos∠ADC=\frac{1}{3}$，
∴$cos∠ADB=-\frac{1}{3}$，
∴$sin∠ADB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$…2分（注：先算∴sin∠ADC給1分）
∵$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sinB}$，…3分
∴$AB=\frac{{3•\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，…5分
（2）∵∠BAD=θ，
∴$∠BDA=\frac{2π}{3}-θ$，…6
由正弦定理有$\frac{BD}{sinθ}=\frac{AB}{sin∠BDA}=\frac{AB}{sinB}=\frac{3}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2\sqrt{3}$，…7分
∴$BD=2\sqrt{3}sinθ，AB=2\sqrt{3}sin（\frac{2π}{3}-θ）$，…8分
∴$f（θ）=2\sqrt{3}sinθ+2\sqrt{3}sin（\frac{2π}{3}-θ）+3=3\sqrt{3}sinθ+3cosθ+3$，…10分
=$6sin（θ+\frac{π}{6}）+3$，…11分
當$θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$時f（θ）取到最大值9．…12分

點評 本題主要考查了誘導公式，同角三角函數基本關系式，正弦定理，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．