Question

13．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示，則曲線f（x）在（0，f（0））處在的切線方程為6$\sqrt{3}$x+2y-3=0．

Answer 1

分析 由圖象可得A，T，ω=2，將（$\frac{π}{3}$，-3）代入f（x）=3sin（2x+φ），求得φ．再求f（x）的導數，可得切線的斜率和切點．運用點斜式方程，即可得到所求切線的方程．

解答 解：由圖象可知A=3，$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{4}$，
可得T=π，ω=$\frac{2π}{T}$=2，
將（$\frac{π}{3}$，-3）代入f（x）=3sin（2x+φ），可得：
-3=3sin（$\frac{2π}{3}$+φ），
即有$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，
解得φ=$\frac{5π}{6}$，
則f（x）=3sin（2x+$\frac{5π}{6}$），
導數f′（x）=6cos（2x+$\frac{5π}{6}$），
在（0，f（0））處在的切線斜率為f′（0）=6cos$\frac{5π}{6}$=-3$\sqrt{3}$，
f（0）=3sin$\frac{5π}{6}$=$\frac{3}{2}$，
則f（x）在（0，f（0））處在的切線方程為y-$\frac{3}{2}$=-3$\sqrt{3}$（x-0），
即為6$\sqrt{3}$x+2y-3=0．
故答案為：6$\sqrt{3}$x+2y-3=0．

點評 本題考查三角函數的圖象和解析式的求法，以及導數的運用：求切線的方程，考查導數的幾何意義，考查運算能力，屬于中檔題．