Question

18．在△ABC中，D是BC上的一點，AD平分∠BAC且△ABD的面積是△ADC面積的2倍．
（1）求$\frac{AC}{AB}$的值．
（2）若∠BAC=60°，BC=2，設∠B=x，△ABC的周長為y，請寫出y與x的關系式，并求定義域和值域．

Answer 1

分析 （1）由S_△ABD=2S_△ADC，利用三角形面積公式即可解得$\frac{AC}{AB}$的值．
（2）由正弦定理得b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinx，c=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-x），利用三角函數恒等變換的應用化簡可得y=4sin（x+$\frac{π}{6}$）+2，由x∈（0，$\frac{2π}{3}$），可求x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函數的圖象和性質即可得解．

解答 解：（1）由S_△ABD=2S_△ADC，
可得：$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD$=2$•\frac{1}{2}•$AC•AD•sin∠DAC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵∠B=x，
∴由正弦定理得：$\frac{2}{sin60°}$=$\frac{b}{sinx}$=$\frac{c}{sin（\frac{2π}{3}-x）}$，
∴b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinx，c=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-x），
∴y=a+b+c=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinx+$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-x）+2=4sin（x+$\frac{π}{6}$）+2，
∵∠BAC=60°，
∴可得定義域：x∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），可得：sin（x+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴y=a+b+c=4sin（x+$\frac{π}{6}$）+2∈（4，6]，故值域為：（4，6]．

點評 本題主要考查了三角形面積公式，正弦定理，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了數形結合思想和轉化思想的應用，屬于中檔題．