Question

7．已知二次函數f（x）的對稱軸x=2，f（x）的最小值為-3，且滿足f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式．
（2）若f（（$\frac{1}{2}$）^x）＞k對x∈[-1，1]恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=a（x-2）²-3（a＞0），由f（0）=1，可得a=1，從而可求得f（x）的解析式；
（2）f（（$\frac{1}{2}$）^x）=[（$\frac{1}{2}$）^x-2]²-3，依題意，可求得{[（$\frac{1}{2}$）^x-2]²}_min=0，于是可求實數k的取值范圍．

解答 解：（1）解：∵二次函數f（x）的對稱軸x=2，f（x）的最小值為-3，
∴f（x）=a（x-2）²-3（a＞0），
又f（0）=1，∴a=1，
∴f（x）的解析式為：f（x）=（x-2）²-3．
（2）∵f（（$\frac{1}{2}$）^x）=[（$\frac{1}{2}$）^x-2]²-3＞k對x∈[-1，1]恒成立，
∴k+3＜{[（$\frac{1}{2}$）^x-2]²}_min，
當x∈[-1，1]時，$\frac{1}{2}$≤（$\frac{1}{2}$）^x≤2，
∴{[（$\frac{1}{2}$）^x-2]²}_min=0，
∴k＜-3．
即實數k的取值范圍為（-∞，-3）．

點評 本題考查函數恒成立問題，（2）中，求得{[（$\frac{1}{2}$）^x-2]²}_min=0是解決問題的關鍵，考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．