Question

1．已知函數f（x）=$\frac{1}{x}$+alnx，a∈R．
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）當x∈[$\frac{1}{2}$，1]時，f（x）的最小值是0，求實數a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，…（2分）
a≤0時，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
則f（x）的單調遞減區間為（0，+∞），…（4分）
a＞0時，令f′（x）＜0得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
則f（x）的單調遞減區間為（0，$\frac{1}{a}$）．          …（6分）
（2）①a≤1時，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上單調遞減，
f（x）_min=f（1）=1≠0，無解，…（8分）
②a≥2時，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上單調遞增，
f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=2+aln$\frac{1}{2}$=0，
解得：a=$\frac{2}{ln2}$≥2，適合題意；    …（12分）
③1＜a＜2時，f（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$]上單調遞減，[$\frac{1}{a}$，1]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{a}$）=a+aln$\frac{1}{a}$=0，解得：a=e，舍去；
綜上：a=$\frac{2}{ln2}$．…（14分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．